Teorema de Pitágoras

Historia de la geometría

1.1 Historia de la Geometría

Geometría (del griego geo, “tierra”;  metrein, “medir”), rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades del espacio. En su forma más elemental, la geometría se preocupa de problemas métricos como el cálculo del área y diámetro de figuras planas y de la superficie y volumen de cuerpos sólidos. Otros campos de la geometría son la geometría analítica, geometría descriptiva, topología, geometría de espacios con cuatro o más dimensiones, geometría fractal, y geometría no euclídea

1.2 Grandes Físico, Filósofos y Matemáticos

• Alfred Nobel

(1833-1896) químico, inventor y filántropo sueco nacido en Estocolmo. Tras recibir una educación académica en San Petersburgo (Rusia) y en los Estados Unidos —donde estudió ingeniería mecánica— regresó a San Petersburgo para trabajar con su padre, elaborando minas, torpedos y otros explosivos. En una fábrica familiar en Heleneborg (Suecia), trató de desarrollar un método seguro para manipular la nitroglicerina, después de que una explosión en 1864 matara a su hermano pequeño y a otras cuatro personas. En 1867 Nobel consiguió su objetivo: para reducir la volatilidad de la nitroglicerina la mezcló con un material poroso absorbente y produjo lo que llamó dinamita. Posteriormente creó la balistita, una de las primeras pólvoras sin humo.

• Stephen William Hawking

(1942- ), físico teórico británico, conocido por sus intentos de aunar la relatividad general con la teoría cuántica y por sus aportaciones íntegramente relacionadas con la cosmología. Nació en Londres y obtuvo el doctorado en la Universidad de Cambridge, donde trabajó como profesor de matemáticas desde 1979. Gran parte de su trabajo hace referencia al concepto de agujero negro. Su investigación indica que la relatividad general, si es cierta, apoya la teoría de que la creación del Universo tuvo su origen a partir de una Gran Explosión o Big Bang, surgida de una singularidad o un punto de distorsión infinita del espacio y el tiempo.

• William Thomson Kelvin

(1824-1907), matemático y físico británico, uno de los principales físicos y más importantes profesores de su época.

Nació en Belfast el 26 de junio de 1824 y estudió en las universidades de Glasgow y Cambridge. Desde 1846 hasta 1899 fue profesor de la Universidad de Glasgow.

En el campo de la termodinámica, Kelvin desarrolló el trabajo realizado por James Prescott Joule sobre la interrelación del calor y la energía mecánica, y en 1852 ambos colaboraron para investigar el fenómeno al que se conoció como efecto Joule-Thomson (véase Criogenia). En 1848 Kelvin estableció la escala absoluta de temperatura que sigue llevando su nombre. Su trabajo en el campo de la electricidad tuvo aplicación en la telegrafía. Estudió la teoría matemática de la electrostática, llevó a cabo mejoras en la fabricación de cables e inventó el galvanómetro de imán móvil y el sifón registrador.

• Anders Celsius

(1701-1744), astrónomo sueco, fue el primero que propuso el termómetro centígrado, que tiene una escala de 100 grados que separan el punto de ebullición y el de congelación del agua. Desde 1730 hasta 1744 fue catedrático de astronomía en la Universidad de Uppsala, construyó el observatorio de esta ciudad en 1740, y fue nombrado su director. En 1733 publicó su colección de 316 observaciones sobre la aurora boreal y en 1737 formó parte de la expedición francesa organizada para medir un grado de latitud en las regiones polares.

• Alessandro Volta

(1745-1827), físico italiano, conocido por sus trabajos sobre la electricidad. Nació en Como y estudió allí, en la escuela pública. En 1774 fue profesor de física en la Escuela Regia de Como y al año siguiente inventó el electróforo, un instrumento que producía cargas eléctricas. Durante 1776 y 1777 se dedicó a la química, estudió la electricidad atmosférica e ideó experimentos como la ignición de gases mediante una chispa eléctrica en un recipiente cerrado.

• Arquímedes

(287-212 a.C.), notable matemático e inventor griego, que escribió importantes obras sobre geometría plana y del espacio, aritmética y mecánica.

Nació en Siracusa, Sicilia, y se educó en Alejandría, Egipto. En el campo de las matemáticas puras, se anticipó a muchos de los descubrimientos de la ciencia moderna, como el cálculo integral, con sus estudios de áreas y volúmenes de figuras sólidas curvadas y de áreas de figuras planas. Demostró también que el volumen de una esfera es dos tercios del volumen del cilindro que la circunscribe.

• Julius Robert Oppenheimer

(1904-1967), físico estadounidense y consejero de gobierno que dirigió el desarrollo de las primeras bombas atómicas.

Oppenheimer nació en Nueva York, el 22 de abril de 1904, y estudió en las universidades de Harvard, Cambridge y Gotinga. Después de trabajar en la International Education Board (1928-1929), fue profesor de física en la Universidad de California y en el Instituto de Tecnología de California (1929-1947), donde impulsó numerosas escuelas de física teórica. Fue famoso por sus contribuciones a la teoría cuántica, la teoría de la relatividad, rayos cósmicos, positrones y estrellas de neutrones.

• Michael Faraday

(1791-1867), físico y químico británico, conocido principalmente por sus descubrimientos de la inducción electromagnética y de las leyes de la electrólisis.

Faraday nació el 22 de septiembre de 1791 en Newington (Surrey). Era hijo de un herrero y recibió poca formación académica. Mientras trabajaba de aprendiz con un encuadernador de Londres, leyó libros de temas científicos y realizó experimentos en el campo de la electricidad. En 1812 asistió a una serie de conferencias impartidas por el químico sir Humphry Davy y envió a éste las notas que tomó en esas conferencias junto con una petición de empleo. Davy le contrató como ayudante en su laboratorio químico de la Institución Real y en 1813 le llevó con él a un largo viaje por Europa. Faraday entró en la Sociedad Real en 1824 y al año siguiente fue nombrado director del laboratorio de la Institución Real. En 1833 sucedió a Davy como profesor de química en esa institución. Dos años más tarde le fue concedida una pensión vitalicia de 300 libras anuales. Faraday recibió numerosos galardones científicos.

• Isaac Newton

(1642-1727), matemático y físico británico, considerado uno de los más grandes científicos de la historia, que hizo importantes aportaciones en muchos campos de la ciencia. Sus descubrimientos y teorías sirvieron de base a la mayor parte de los avances científicos desarrollados desde su época. Newton fue junto al matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz uno de los inventores de la rama de las matemáticas denominada cálculo. También resolvió cuestiones relativas a la luz y la óptica, formuló las leyes del movimiento y dedujo a partir de ellas la ley de la gravitación universal. Véase Mecánica.

• Albert Einstein

(1879-1955), físico alemán nacionalizado estadounidense, premiado con un Nobel, famoso por ser el autor de las teorías general y restringida de la relatividad y por sus hipótesis sobre la naturaleza corpuscular de la luz. Es probablemente el científico más conocido del siglo XX.

Nació en Ulm el 14 de marzo de 1879 y pasó su juventud en Munich, donde su familia poseía un pequeño taller de máquinas eléctricas. Ya desde muy joven mostraba una curiosidad excepcional por la naturaleza y una capacidad notable para entender los conceptos matemáticos más complejos. A los doce años ya conocía la geometría de Euclides.

A la edad de 15 años, cuando su familia se trasladó a Milán, Italia, a causa de sucesivos fracasos en los negocios, Einstein abandonó la escuela. Pasó un año con sus padres en Milán y viajó a Suiza, donde terminó los estudios secundarios, e ingresó en el Instituto Politécnico Nacional de Zurich.

• Johannes Kepler

(1571-1630), astrónomo y filósofo alemán, famoso por formular y verificar las tres leyes del movimiento planetario conocidas como leyes de Kepler.

Kepler nació el 27 de diciembre de 1571, en Weil der Stadt, en Württemberg, y estudió teología y clásicas en la Universidad de Tübingen. Allí le influenció un profesor de matemáticas, Michael Maestlin, partidario de la teoría heliocéntrica del movimiento planetario desarrollada en principio por el astrónomo polaco Nicolás Copérnico. Kepler aceptó inmediatamente la teoría copernicana al creer que la simplicidad de su ordenamiento planetario tenía que haber sido el plan de Dios. En 1594, cuando Kepler dejó Tübingen y marchó a Graz (Austria), elaboró una hipótesis geométrica compleja para explicar las distancias entre las órbitas planetarias —órbitas que se consideraban circulares erróneamente. (Posteriormente, Kepler dedujo que las órbitas de los planetas son elípticas; sin embargo, estos primeros cálculos sólo coinciden en un 5% con la realidad.) Kepler planteó que el Sol ejerce una fuerza que disminuye de forma inversamente proporcional a la distancia e impulsa a los planetas alrededor de sus órbitas. Publicó sus teorías en un tratado titulado Mysterium Cosmographicum en 1596. Esta obra es importante porque presentaba la primera demostración amplia y convincente de las ventajas geométricas de la teoría copernicana.

• Niels Bohr

(1885-1962), físico danés, galardonado con el premio Nobel, que hizo aportaciones fundamentales en el campo de la física nuclear y en el de la estructura atómica.

Bohr nació en Copenhague el 7 de octubre de 1885; era hijo de un profesor de fisiología y estudió en la universidad de su ciudad natal, donde alcanzó el doctorado en 1911. Ese mismo año fue a la Universidad de Cambridge (Inglaterra) para estudiar física nuclear con J.J. Thomson, pero pronto se trasladó a la Universidad de Manchester para trabajar con Ernest Rutherford.

La teoría de la estructura atómica de Bohr, que le valió el Premio Nobel de Física en 1922, se publicó en una memoria entre 1913 y 1915. Su trabajo giró sobre el modelo nuclear del átomo de Rutherford, en el que el átomo se ve como un núcleo compacto rodeado por un enjambre de electrones más ligeros. El modelo de átomo de Bohr utilizó la teoría cuántica y la constante de Planck. El modelo de Bohr establece que un átomo emite radiación electromagnética sólo cuando un electrón del átomo salta de un nivel cuántico a otro. Este modelo contribuyó enormemente al desarrollo de la física atómica teórica.

• Amedeo Avogadro, conde de Quaregna e Ceretto

(1776-1856), físico y químico italiano que planteó la hipótesis conocida posteriormente como ley de Avogadro. Nació en Turín y estudió leyes. Comenzó a interesarse por las matemáticas y la física y, después de varios años de estudio, fue nombrado profesor en el Colegio Real de Vercelli. Desde 1820 hasta su muerte, Avogadro fue catedrático de Física en la Universidad de Turín. Aunque también realizó investigaciones en electricidad y sobre las propiedades físicas de los líquidos, es más conocido por su trabajo sobre los gases, que le llevó a formular en 1811 la ley que ahora lleva su nombre.

La ley de Avogadro sostiene que dos volúmenes iguales de gas a la misma temperatura y a la misma presión contienen el mismo número de moléculas. Actualmente reconocida como cierta, esta ley no fue aceptada universalmente hasta 1850.

• Johann Jakob Balmer

(1825-1898), físico y matemático suizo, nacido en Lausanne. En 1885, Balmer descubrió una fórmula matemática sencilla que daba los valores de la longitud de onda de una cierta serie de líneas espectrales del hidrógeno. Esta serie de líneas espectrales se denomina actualmente serie de Balmer (véase Espectroscopia). La razón de que la fórmula de Balmer diera los valores correctos de la longitud de onda no se entendió hasta el desarrollo de la teoría cuántica, a comienzos del siglo XX.

• Angström Anders Jonas

(1814-1874), astrónomo y físico sueco. Nació en Lögdö, Medelpad, y estudió en la Universidad de Uppsala. Después de graduarse, enseñó física en esa misma universidad desde 1839 hasta su muerte. Desde 1867 fue secretario de la Real Sociedad de Ciencias de Uppsala. Ångström fue pionero en el estudio del espectro. Este trabajo le llevó en 1862 al descubrimiento de la existencia de hidrógeno en la atmósfera del Sol. Una unidad de medida de longitud, el ángstrom, recibió este nombre en su honor.

• Francis William Aston

(1877-1945), físico y premio Nobel británico, nació en Harborne (Birmingham), y estudió en el Malvern College de la Universidad de Birmingham, y en el Trinity College de la Universidad de Cambridge. Aston construyó (1919) el primer espectrómetro de masas con el que demostró que muchos elementos son la mezcla de dos o más isótopos con una masa atómica ligeramente distinta. La obra de Aston fue el primer estudio cuantitativo aplicable a todos los elementos. Por sus descubrimientos, recibió muchos premios, incluido el Nobel de Química en 1922. Escribió Los isótopos (1922) y Espectros de masa e isótopos (1933).

• Carl David Anderson

(1905-1991), físico estadounidense y premio Nobel. Nació en la ciudad de Nueva York y estudió en el Instituto de Tecnología de California, donde alcanzó una cátedra en 1939. En 1932 descubrió el positrón o electrón positivo, una de las partículas subatómicas fundamentales. Por este descubrimiento recibió, junto con Victor Franz Hess, en 1936 el Premio Nobel de Física. Ese mismo año, confirmó también de forma experimental la existencia de partículas nucleares elementales llamadas mesones, que habían sido pronosticadas en 1935 por el físico japonés Yukawa Hideki.

1.3 Definición de Geometría

La geometría es una parte de la matematica que trata de estudiar unas idealizaciones del espacio en que vivimos, que son los puntos, las rectas y los planos, y otros elementos conceptuales derivados de ellos, como poligonos o poliedros.En la practica, la geometría sirve para solucionar problemas concretos en el mundo de lo visible. Entre sus utilidades se encuentran la justificación teorica de muchos instrumentos: compás, teodolito, pantógrafo, sistema de posicionamiento global. También es la que nos permite medir areas y volumenes, es útil en la preparación de diseños, e incluso en la fabricación de artesanías.La geometría clásica o axiomática es una matemática en la cuál los objetos, en vez de ser números, son puntos, rectas, planos y otras figuras definidas en función de estas.

2.1 Punto, Recta, Semirrecta y Segmento

PUNTO:

En geometría, el punto es uno de los entes fundamentales, junto con la recta y el plano. Son considerados conceptos primarios, o sea, que sólo es posible describirlos en relación con otros elementos similares. Se suelen describir apoyándose en los postulados característicos, que determinan las relaciones entre los entes geométricos fundamentales.

RECTA:

Una recta es una sucesión infinita de puntos, situados en una misma dirección.

SEMIRRECTA:

Una semirrecta es cada una de las dos partes en que queda dividida una recta por cualquiera de sus puntos, o la parte de una recta formada por todos los puntos que se ubican hacia un lado de un punto fijo de la recta.

SEGMENTO:

Segmento es la porción de recta limitada por dos puntos llamados extremos.

2.2 Ángulos y Clases de Ángulos

ANGULO: Es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen o vértice. Suelen medirse en unidades tales como el radian, el radio sexagesimal o el grado centesimal
CLASES DE ÁNGULOS:

Agudo < 90°	Recto = 90°	Obtuso>90°
Convexo < 180°	Llano = 180°	Cóncavo > 180°
Nulo = 0º	Completo = 360°
Negativo < 0º	Mayor de 360°

2.3 Mediatriz y Bisectriz

MEDIATRIZ

La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular a dicho segmento trazada por su punto medio. Equivalentemente se puede definir como la recta cuyos puntos son equidistantes a los extremos del segmento. También se la llama simetral. Lugar geométrico de los puntos que equidistan de los extremos de un segmento AB.

DIRECTRIZ

Una directriz se dice de aquello que marca las condiciones en que se genera algo.En geometría la directriz es aquella línea, superficie o volumen que determina las condiciones de generación de otra línea, superficie o volumen (que se llama generatriz)

2.4 Recta Paralela y Recta Perpendicular

RECTA PARALELA: Son aquellas rectas que se encuentran en un mismo plano, presentan la misma pendiente y que no presentan ningún punto en común, esto significa que no se cruzan, ni se tocan y ni siquiera se van a cruzar sus prolongaciones.

RECTA PERPENDICULAR: Dos rectas son perpendiculares cuando al cortarse forman cuatro ángulos iguales.

3.1 Definición de Polígonos

POLÍGONO: Es una figura plana que esta limitada por una curva cerrada, compuesta por una secuencia finita de segmentos rectos. Estos segmentos son llamados lados, y los puntos en que se intersectan se llaman vértices.

 

3.2 Tipos de Polígonos

Nombre	Lados	Forma	Ángulo interior
Triángulo (o trígono)	3		60°
Cuadrilátero (o tetrágono)	4		90°
Pentágono	5		108°
Hexágono	6		120°
Heptágono (o Septágono)	7		128.571°
Octágono	8		135°
Nonágono (or eneágono)	9		140°
Decágono	10		144°
Endecágono (or undecágono)	11		147.273°
Dodecágono	12		150°

3.3 Nombres de Algunos Polígonos

Número de lados	Nombre del polígono
3	Triángulo
4	Cuadrilátero
5	Pentágono
6	Hexágono
7	Heptágono
8	Octágono
9	Eneágono o Nonágono
10	Decágono
11	Endecágono
12	Dodecágono
13	Triskaidecágono
14	Tetradecágono
15	Pentadecágono
16	Hexadecágono
17	Heptadecágono
18	Octadecágono
19	Eneadecágono

4.1 Definición de Triángulo

Un triángulo, en geometría, es un polígono determinado por tres rectas que se cortan dos a dos en tres puntos (que no se encuentran alineados). Los puntos de intersección de las rectas son los vértices y los segmentos de recta determinados son los lados del triángulo. Dos lados contiguos forman uno de los ángulos interiores del triángulo.

4.2 Teoremas de Pitágoras

El Teorema de Pitágoras lleva este nombre porque su descubrimiento recae sobre la escuela pitagórica. Anteriormente, en Mesopotamia y el Antiguo Egipto se conocían ternas de valores que se correspondían con los lados de un triángulo rectángulo, y se utilizaban para resolver problemas referentes a los citados triángulos, tal como se indica en algunas tablillas y papiros. Sin embargo, no ha perdurado ningún documento que exponga teóricamente su relación. La pirámide de Kefrén, datada en el siglo XXVI a. C., fue la primera gran pirámide que se construyó basándose en el llamado triángulo sagrado egipcio, de proporciones 3-4-5.

4.3 Triángulo Equilátero

Todo triángulo equilátero consta de tres lados iguales y tres ángulos congruentes entre sí. Teniendo esto en cuenta, su construcción puede resultar muy sencilla.

Para lograr una congruencia en los lados, es aconsejable trazar el triángulo dentro de una circunferencia (circunscrito), para ello se pueden emplear los siguientes pasos:

§  Trazar la circunferencia

§  Abrir un compás en una medida de 120° (los 360° de la circunferencia entre el número de lados del polígono)

§  Marcar tres puntos, uno a la misma distancia del otro (guiándose con el compás)

§  Unir los puntos

4.4 Triángulo Isósceles

Triángulo en el que al menos dos lados son congruentes. A los lados congruentes se les llama catetos. El ángulo formado por los catetos es el ángulo vértice. Los otros dos ángulos son los ángulos base. La base es el lado opuesto al ángulo vértice.